第一章：NumPy

1.什么是NumPy

全称：

Numerical Python

意思：

Python 数值计算库。

它主要解决：

（1）大量数字存储

（2）数学运算

（3）矩阵计算

（4）随机模拟

2.ndarray：NumPy里面的数据容器

2.1.概念

一维矩阵：np.array([1,2,3])

二维矩阵：np.array([[1,2],[3,4]])

类型为：<class 'numpy.ndarray'>

2.2.shape

代表维度

例如：

b=np.array([ [1,2,3], [4,5,6]])

print(b.shape)

输出为：(2,3)意味2行3列

再看一维：

b=np.array([1,2,3,4,5])

print(b.shape)

输出为：（5，）代表有5个元素

2.3.ndim（维度）

告诉你是几维数组，一维就是1.

2.4.dtype（数据类型）

print(a.dtype)可能输出：int64，代表数组的数据类型，小数为float64

2.5.总结

属性	作用
type()	看变量是不是 ndarray
shape	看数组结构（几行几列）
ndim	看数组维度
dtype	看元素类型

3：NumPy数组创建方式

1. np.array()

3.2.np.zeros()

作用：

创建全是0的数组。

一维：np.zeros(5)

二维：np.zeros((2,3))注意，有两个括号

3.3.np.ones()

作用：

创建全是0的数组。

3.4.np.arange()

作用：

生成等差整数序列

格式为：np.arange(start, stop, step)

参数	含义
start	开始
stop	结束（不包含）
step	步长

例如:np.arange(0,10,2)

生成：0,2,4,6,8

3.5.np.linspace()

作用：

在指定范围内生成固定数量的数据

格式为：np.linspace(start, stop, num)

例如：np.linspace(0,10,5)

意思：0到10之间生成5个点。

结果：0,2.5,5,7.5,10

6.总结

4、NumPy数组索引和切片

1.一维和数组几乎相同，除了初始化部分：a=np.array([10,20,30,40,50])

4.2.二维数组索引

有数组：

A=np.array([
[1,2,3],
[4,5,6],
[7,8,9]
])

二维数组的位置：

列
0 1 2

行0 1 2 3

行1 4 5 6

行2 7 8 9

所以，第0行：A[0] 结果：[1 2 3]

取具体元素，格式：A[行,列]

取整行：例如第一行为： A[0,:]

取整列：例如第二列为： A[:,1] （在这两个中“：”代表全部）

这里涉及连着取好几列（行）的问题，要注意

4.3.reshape

作用：改变数据结构，形状（比如一维变二维）

格式：数组.reshape(新的形状)

例如原数组：a=np.array([1,2,3,4,5,6]) ，要变成：两行三列的形式

写：b=a.reshape(2,3)

限制：

1.元素数量必须一致

2.reshape不会改变原数组

a还是原来的数据。

b是新的视图

4.4.转置 transpose（矩阵行列交换）

线性代数的行列式转置

方法一：a.T

方法二：np.transpose(a)

5：NumPy 数学运算

5.1.数组加减法

例如：

import numpy as np

a=np.array([1,2,3])

b=np.array([4,5,6])

直接a+b，a-b

5.2.数组乘除法

a*b a/b

注意：不是矩阵乘法，而是对应元素相乘。（相同位置元素相乘，结果还是数组）

5.3.矩阵乘法（@运算符）

A @ B

两者区别

六：广播机制（Broadcasting）

1.标量广播

例如：a=np.array([1,2,3])

执行：a*2

结果为：[2 4 6]

相当于：[1,2,3]×[2,2,2]

2.一维向量加二维矩阵

执行：A+b

6：条件筛选（布尔索引）

6.1.普通判断

例如：a=np.array([10,20,30,40,50])

现在我要找：大于30的数据。

Python普通思路：循环：

for i in a:
if i>30:

但是 NumPy 不需要，直接：

a>30

输出：[False False False True True] 得到一个布尔数组

6.2.使用条件取数据

a[a>30]，直接得到数据

多条件筛选：&

20<x<50写作：(a>20)&(a<50) 每个条件必须加括号

6.3.修改满足条件的数据

a[a<30]=0就可以了。

7：NumPy常用统计函数

7.1.一维数组常见函数

1. sum 求和

np.sum(a)

2. mean 平均值

np.mean(a)

3. max 最大值

np.max(a)

4. min 最小值

np.min(a)

5. std 标准差

np.std(a)

7.2.二维数组统计 + axis

7.2.1. 不指定 axis

例如：np.sum(X)，全部加起来

7.2.2. axis=0（按列计算）

先看：np.sum(X,axis=0)

什么意思？axis=0：沿着第0维变化。

简单理解：压缩行，保留列。

7.2.3 axis=1（按行计算）

np.sum(X,axis=1)

压缩列，保留行。

axis	方向	结果
不写	全部计算	一个数
axis=0	按列	每列一个结果
axis=1	按行	每行一个结果

8：随机数（Random）

8.1. 随机小数

NumPy随机模块：np.random

生成0~1之间随机数：np.random.rand()

8.2. 生成多个随机数

例如：np.random.rand(5)

生成5个：[0,1)之间的小数。

8.3. 生成随机整数

使用：np.random.randint()

格式：np.random.randint(low,high,size) 注意，还是不包含右边

8.4. 生成随机矩阵

随机整数矩阵： np.random.randint(0,100,(3,3))

8.5. 固定随机结果

np.random.seed(0)

print(np.random.rand())

以后每次运行结果一样。

9：常用数学函数

1. 平方根 sqrt

np.sqrt(a)

2. 指数 exp

np.exp(a) e的a次方

3. 对数 log

np.log(a) ln(x)

4. 三角函数

np.sin(a)

np.cos(a)

用弧度制 π

十：线性代数基础操作

NumPy提供：np.linalg

1.求矩阵行列式 determinant

数学：∣A∣

代码：np.linalg.det(A)

2. 求逆矩阵 inverse

数学：A−1

代码：np.linalg.inv(A)

3. 求特征值 eigenvalues

数学：Ax=λx

代码：np.linalg.eig(A)

返回：

• 特征值
• 特征向量

4. 求解线性方程组

例如：Ax=b

代码：np.linalg.solve(A,b)

第二章：Pandas

1：什么是Pandas

Pandas 是 Python 里面专门处理表格数据的工具

2：创建DataFrame

df=pd.DataFrame(data)

意思：把字典转换成表格。

现在：df就是Excel。

例如：

import pandas as pd
data = {
"城市":["北京","上海","广州"],
"GDP":[36102,38700,25000],
"人口":[2189,2487,1500]
}
df = pd.DataFrame(data)
print(df)

3：查看 DataFrame 数据

df = pd.read_excel("城市经济数据.xlsx")

3.1. 查看前几行：head()

格式：df.head()

查看前n行：df.head(n)

3.2.查看数据规模：shape

格式：df.shape 和numpy是一样的，表示几行几列，区别：代码上没有（）

3.3. 查看列名：columns

作用：知道有哪些变量。

格式：df.columns

输出：Index(['城市','GDP','人口'],dtype='object')

3.4. 查看数据类型：info()

作用：每一列是什么类型。

代码：df.info()

输出：

<class 'pandas.core.frame.DataFrame'>

列:
城市 object
GDP int64
人口 int64

3.5. 查看统计信息：describe()

代码：df.describe()

它会自动计算：

• 平均值
• 标准差
• 最小值
• 最大值
• 四分位数
• 

4：DataFrame 数据访问

4.1.取一列数据

写：df["销量"]

和numpy的数组区别：

Pandas这一列带有：

• 列名
• 索引

0 100
1 120
2 150
3 170
4 200

前面那一列叫做索引

4.2.取多列数据

df[["温度","销量"]]

注意这里有两个中括号

外层：表示 DataFrame取数据。

里面：是一个列表。

4.3.按位置取行：iloc

代码：df.iloc[0]

输出：温度 25
湿度 60
销量 100

4.4.取多行

代码：df.iloc[0:3]

遵循切片规则，左闭右开

4.5.条件筛选

例如：找销量大于150的数据。

数学表达：

销量 > 150

Pandas：df["销量"]>150

得到：0 False
1 False
2 False
3 True
4 True

它不是数据，它是判断结果。

然后，把它放回 df：

df[df["销量"]>150]

5：修改 DataFrame 数据

5.1.增加一列数据

现有：

data={
"温度":[25,28,30,32,35],
"销量":[100,120,150,170,200]
}

我们想增加利润，例如：利润 = 销量 × 10

可以：df["利润"]=df["销量"]*10

5.2.增加固定值列

df["年份"]=2026 这一列全是2026

5.3.修改已有列

df["销量"]=df["销量"]*10

原有列会被覆盖

5.4.删除列

行：axis=0

列：axis=1

代码：df.drop("年份",axis=1)

注意：原来的df没有改变，可以：df = df.drop("温度",axis=1)

5.5.修改某一个数据

代码：df.loc[0,"销量"]=120

6：缺失值处理（NaN）

6.1.概念

城市	人口	GDP
北京	2189	36102
上海	2487	38700
广州	空	25000
深圳	1300	空

“空”，在 Pandas 里面叫：NaN

6.2.制造一个缺失数据

import pandas as pd
import numpy as np
data={
"温度":[25,28,None,32,35],
"销量":[100,120,150,None,200]
}
df=pd.DataFrame(data)

print(df)

运行结果None会变成NaN

6.3.查看哪里缺失

方法：df.isnull()

输出false为有数据，True为无数据

比赛考 ：统计每列缺多少：df.isnull().sum()

结果为：温度 1
销量 1

6.4.删除缺失数据

方法：df.dropna()

意思：删除包含NaN的行。

返回新表，不修改原 df

6.5.填充缺失数据

方法：df.fillna(0)

NaN全部填入0

也可以填平均值：df["温度"].fillna(df["温度"].mean())

返回新表，不修改原 df

7：排序、分组、统计

data={
"城市":["北京","上海","广州","深圳"],
"GDP":[36102,38700,25000,32000]
}

7.1.排序

格式：按GPT排，df.sort_values("GDP")

默认：从小到大。

想要从大到小：df.sort_values( "GDP",ascending=False)

结果：

城市	GDP
上海	38700
北京	36102
深圳	32000
广州	25000

找GDP最高的10个城市：df.sort_values("GDP",ascending=False).head(10)

7.2.统计

df["GDP"].mean()平均值，像最大值，总和也是这样

7.3.分组

有销售数据：

地区	销量
北京	100
上海	200
北京	150
上海	300

data={
"地区":["北京","上海","北京","上海"],
"销量":[100,200,150,300]
}

df=pd.DataFrame(data)

分组：df.groupby("地区")意思是：按照地区分类。

求和：df.groupby("地区")["销量"].sum()

7.4.多个统计一起做：agg()

df.groupby("地区")["销量"].agg(
["mean","max","min"]
)

结果：

地区	mean	max	min
北京	125	150	100
上海	250	300	200

总结：性质不要括号，方法要括号sum。max这些要括号，shape这种不要括号

第三章：matplotlib

1.主要功能

1.1.添加标题

plt.title("Temperature")

1.2.添加坐标轴名字

X轴：plt.xlabel("Time")

Y轴：plt.ylabel("Temperature")

1.3.图例 legend

当有两个图例的时候

需要告诉别人：哪条线是什么。

plt.plot(x,y1,label="Model A")

plt.plot(x,y2,label="Model B")
plt.legend()

1.4.保存图片

代码：plt.savefig("result.png")

例如：

plt.plot(x,y)

plt.savefig("temperature.png")

plt.show()

在当前文件夹会生成temperature.png（在你下载的VS Code的文件夹里面）

指定位置：

plt.savefig(

"E:/数学建模/06_结果/temperature.png"

)

1.5.中文显示

Matplotlib默认：中文可能乱码。

plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']

加在x y坐标前面

1.6.图像保存（比赛推荐方式）

plt.savefig(
"result.png",
dpi=300,
bbox_inches='tight'
)

plt.show()（这句不要放在savefig前面，show之后可能会清空）

dpi表示分辨率，比赛建议300

bbox_inches，去除多余空白

plt.savefig(
"E:/数学建模/06_结果/图片/result.png",
dpi=300,
bbox_inches='tight'
)

可以指定位置

2：几个重要的图

1.折线图plot

一天温度：

时间	温度
8点	20
10点	25
12点	30
14点	32

代码：

import matplotlib.pyplot as plt
x = [8,10,12,14]

y = [20,25,30,32]
plt.plot(x,y)

plt.show()

分析：plt.plot(x,y) 意思：把这些点连接起来。

plt.show() 展示图片

1.2.散点图 scatter

例如：

import matplotlib.pyplot as plt
height=[160,165,170,175]

weight=[50,55,65,70]
plt.scatter(height,weight)
plt.xlabel("height")

plt.ylabel("weight")
plt.show()

1.3.柱状图 bar

比较大小。

例如：

import matplotlib.pyplot as plt
city=["A","B","C"]

population=[100,200,150]
plt.bar(city,population)
plt.show()

1.4.直方图 hist

看数据分布。

例如：

import matplotlib.pyplot as plt
score=[60,70,80,80,90,95,100]
plt.hist(score)
plt.show()

1.5.箱线图（Box Plot）

谁波动小。

代码：

import matplotlib.pyplot as plt
score=[55,60,65,70,72,75,78,80,82,85,90,95,100,150]
plt.boxplot(score)

plt.show()

注意：150可能是异常数据，如果直接看平均值可能被影响。

箱线图可以直接发现。

你会看到：

• 中间箱子表示主要数据范围
• 外面的点表示异常值

1.6.热力图（Heatmap）

用颜色表示数值大小。

有数据：

	身高	体重	年龄
身高	1	0.8	0.2
体重	0.8	1	0.3
年龄	0.2	0.3	1

这个矩阵：就是相关系数矩阵。

我们希望一眼看出哪些变量关系强。

使用 seaborn

热力图一般不用 matplotlib，使用seaborn

例如：

import seaborn as sns
import matplotlib.pyplot as plt
data=[
[1,0.8,0.2],
[0.8,1,0.3],
[0.2,0.3,1]
]
sns.heatmap(data)
plt.show()

1.7.多图绘制 subplot

论文经常：一张图放多个结果。

例如：左边真实值，右边预测值

用：plt.subplot()

例如：

import matplotlib.pyplot as plt
x=[1,2,3,4]

y1=[1,4,9,16]

y2=[2,4,6,8]
plt.subplot(1,2,1)

plt.plot(x,y1)

plt.title("A")
plt.subplot(1,2,2)

plt.plot(x,y2)

plt.title("B")
plt.show()

解释：

plt.subplot(1,2,1)1 行 2 列 第1个图

plt.subplot(2,2,3)

+---+---+
| 1 | 2 |
+---+---+
| 3 | 4 |
+---+---+

现在画第3个

1.8.总结

想表达的信息	推荐图	Python函数	典型数学建模场景
一个变量随时间/过程变化趋势	折线图	plt.plot()	年份-GDP、温度变化、预测曲线、误差变化
两个变量之间是否存在关系	散点图	plt.scatter()	身高-体重、投入-产出、变量相关性初步观察
多个类别之间大小比较	柱状图	plt.bar()	不同城市人口、不同方案指标比较
数据出现次数和分布情况	直方图	plt.hist()	成绩分布、误差分布、随机数据分布
一组或多组数据稳定性、异常值	箱线图	plt.boxplot()	多算法性能比较、实验结果稳定性
多个变量之间相关程度	热力图	sns.heatmap()	相关系数矩阵、变量筛选
数据占比关系	饼图	plt.pie()	比例分析（比赛较少用）
两个结果/多个模型同时展示	多图布局	plt.subplot()	论文排版、模型结果对比
地理位置数据	地图类图	geopandas等	区域分布、空间分析
三维关系	三维图	matplotlib 3D	三变量关系展示

热力图关键词：

• 相关性矩阵
• 多变量
• 特征选择

题目描述	第一反应
预测未来趋势	折线图
验证模型预测效果	真实值+预测值折线图
分析因素影响	散点图
分析变量相关性	热力图
比较不同算法效果	箱线图/柱状图
展示误差变化	折线图
分析误差分布	直方图
展示实验重复结果	箱线图

第四章：SciPy

1：理解SciPy

NumPy负责“计算数据”，SciPy负责“解决数学问题”。

数学问题	Python工具
矩阵计算	NumPy
积分	SciPy
方程求解	SciPy
优化	SciPy
统计	SciPy
符号推导	SymPy

2：SciPy常用模块

2.1.optimize

优化、求方程

以后：最大值，最小值，参数拟合经常用。

2.2.integrate

积分

2.3.interpolate

插值：插入数据

2.4.stats

统计例如：概率分布，假设检验

3：方程求解optimize：fsolve

是 SciPy 中用来寻找方程数值解的工具

from scipy.optimize import fsolve

例如：

from scipy.optimize import fsolve

def f(x):
return x**2 - 4

x = fsolve(f, 1)

print(x)返回值为2

fsolve(f, 1)，中的1也就是告诉 fsolve：“你先从 x=1 附近开始找。”如果从-1开始找那么返回值是-2

因此：fsolve不一定帮你找到所有解

多个未知数

先定义：

def equations(vars):

x, y = vars

return [
x + y - 10, 找 x、y，使这两个式子同时等于0
x - y - 2
]

from scipy.optimize import fsolve

result = fsolve(equations, [1, 1])

print(result)

得到：[6. 4.]

单变量：

from scipy.optimize import fsolve
def f(x):
return 数学表达式
result = fsolve(f, 初始猜测值)
print(result)

多变量：

from scipy.optimize import fsolve
def equations(vars):
x, y = vars

return [
    方程1,
    方程2
]
result = fsolve(equations, [x初始值, y初始值])
print(result)

4：数值积分integrate：quad

来自：from scipy.integrate import quad

例如：

第一步：定义函数

代码：def f(x):
return x**2

第二步：调用quad

from scipy.integrate import quad
def f(x):
return x**2
result,error = quad(
f,
0,
1
)
print(result)

Python	数学
f	被积函数
0	积分下限
1	积分上限

5：优化求解 optimize：minimize

优化：在所有可能方案里面，找一个最好方案

minimize求最小值

例如：的最小值

from scipy.optimize import minimize
def f(x):
return x**2-4*x+3
result=minimize(f,0) 这个0也是猜测值
print(result.x)

注意：minimize返回的不只是x

里面会有很多东西：message，success，fun，x，nit等等

例如：result.fun就是最小值，x是最小值的位置

要求最大值怎么办？把最小值变成最大值，如这里就是加负号

6：SciPy插值模块：interpolate

作用：已经有一些数据，但是中间缺数据，怎么办？

使用：from scipy import interpolate

最常用：interp1d() 一维插值

例如：

from scipy.interpolate import interp1d
x=[0,2,4]

y=[20,30,40]
f=interp1d(x,y)
print(f(3))

输出为：35.即预测x为3时y的值

这里是线性插值

7：数值微分

没公式，只有数据 → 差分求导

有公式：SymPy

例如：

import numpy as np
x=np.array([0,1,2,3])

y=np.array([0,1,4,9])
dy=np.gradient(y,x)
print(dy)

8：信号处理

导入：from scipy import signal

功能	函数
滤波	filter
寻找峰值	find_peaks
傅里叶分析	fft
卷积	convolve

1.滤波

最简单的平滑：移动平均，找平均值

2.SciPy寻找峰值

from scipy.signal import find_peaks

peaks=find_peaks(data)

找最高点：返回峰的位置

9：统计模块

导入：from scipy import stats

问题	函数
平均值	mean
方差	var
标准差	std
相关性	pearsonr
概率分布	norm等
假设检验	ttest等

和numpy差不多

相关性：

from scipy.stats import pearsonr
x=[160,170,180]

y=[50,65,80]
r,p=pearsonr(x,y)
print(r)

r:相关系数，p:显著水平

第五章：Sympy

前面 SciPy 的核心思想：给计算机数字，让它算结果

Sympy：我不知道具体数字，我想让计算机处理数学公式。符号计算 Python 库

1.符号变量

1.1.导入 SymPy

import sympy as sp
x = sp.Symbol('x')
print(x)

注意：这里x不再是数值了，x代表数学变量

多个变量：

一：x=sp.Symbol('x')
y=sp.Symbol('y')

二：x,y=sp.symbols('x y')

1.2.创建数学表达式

可以写：

import sympy as sp
x=sp.Symbol('x')
expr=x**2+3*x+5
print(expr)

1.3.表达式代入数字

import sympy as sp
x=sp.Symbol('x')
y=x**2+3*x+5
result=y.subs(x,2)
print(result)

subs()：意思是替换

数学	Python
f(x)=...f(x)=...	def f(x):
表达式 x2+...x^2+...	expr=x**2+...
代入 x=2x=2	expr.subs(x,2)

写表达式，不要直接f(x)会报错

2.符号表达式化简

2.1化简simplify

expr=x+x+x

result=sp.simplify(expr)

print(result)

输出为3*x

2.2展开 expand

sp.expand((x+1)**2)

输出为：x**2+2*x+1

2.3因式分解 factor

代码：sp.factor(x**2+2*x+1)

2.4合并分式 together

3.方程求解

sp.solve()符号求解，和scipy的fsolve的数值求解做好区分

3.1单项式

import sympy as sp
x=sp.Symbol('x')
expr=x**2-4
result=sp.solve(expr,x) x代表求解的变量
print(result)

输出为[2,-2]

3.2多项式

import sympy as sp
x,y=sp.symbols('x y')
eq1=x+y-8

eq2=x-y-2
result=sp.solve(
[eq1,eq2],
[x,y]
)
print(result)

输出：{x:5,y:3}

3.3与fsolve的区别

	fsolve	solve
库	SciPy	SymPy
类型	数值	符号
结果	近似数字	精确公式
需要初值	需要	不需要
速度	快	复杂方程可能慢

4.符号微分

使用：sp.diff()

完整：

import sympy as sp
x=sp.Symbol('x')
expr=x**2+3*x+1
result=sp.diff(expr,x) 对x求导
print(result)

输出：2*x+3

二阶求导：sp.diff(expr,x,2)

5.符号积分

直接输出符号积分，不是数字

5.1基本积分

sp.integrate()

例如：

import sympy as sp
x=sp.Symbol('x')
expr=x**2
result=sp.integrate(expr,x)
print(result)

5.2integrate两个参数

sp.integrate(x**2+y,x)，这里y当作常数

5.3定积分

sp.integrate( expr,(x,0,2))

5.4多个积分变量

例如：

sp.integrate( x*y, x,y)

结语

     到这里，我们已经把数学建模中最常用的五个 Python 库完整过了一遍：NumPy 负责数组与矩阵运算，Pandas 负责表格数据的读取、清洗与统计，matplotlib 负责把结果画成论文里能直接用的图，SciPy 负责求解方程、积分、优化与插值，SymPy 则负责符号推导。它们各司其职，又彼此配合，基本覆盖了从数据准备、建模计算到结果展示的完整流程。

      学习这些库，关键不在于记住每一个函数，而在于建立“遇到问题知道该找谁”的感觉：看到表格先想 Pandas，看到矩阵先想 NumPy，看到公式先想 SymPy，看到数值求解先想 SciPy，看到出图先想 matplotlib。建议你把这五章当作一份速查手册，比赛前快速翻一遍，做题时遇到卡壳就回来对照。真正上了赛场，能快速想起“这个操作用哪个库、哪个函数”，就已经赢过了大多数对手。祝大家在数学建模中顺利拿奖！